Das ist eine gute Frage... Nun, da gibt es ganz einen ganz guten Anknüpfungspunkt. Wir wissen ja bereits, was kongruent bedeutet. Und Ähnlichkeit hat auch ein bisschen mit Kongruenz zu tun. Während bei der Kongruenz die Figuren definitiv deckungsgleich sein müssen, ist das bei der Ähnlichkeit ein wenig anders. Es gibt genau zwei Bedingungen, die beidegleichzeitig erfüllt sein müssen, damit zwei Figuren ähnlich sind:
Zwei Figuren sind genau dann ähnlich wenn sie
(Für Spezialisten: Die Kongruenz ist im Grunde genommen ein Spezialfall der Ähnlichkeit, bei der das Seitenverhältnis 1 ist.)
Zu kompliziert? Okay, machen wir es anschaulicher. Dazu dient uns folgende Abbildung:
Bei beiden Dreiecken gilt:
α = α'; β = β'; γ = γ'
Also ist die erste Bedingung erfüllt.
Für die Seitenlängen muss gelten:
\[{{a'}\over {a}}~=~{{b'}\over {b}}~=~{{c'}\over {c}}\]
In Zahlen:
\[{{5,66}\over {2,83}}~=~{{6,32}\over {3,16}}~=~{{6,32}\over {3,16}}~=~2\]
Damit ist auch die zweite Bedingung erfüllt. Die beiden Dreiecke sind somit ähnlich.
Nehmen wir uns noch ein zweites Beispiel vor:
In beiden Rechtecken sind alle Winkel 90°. Damit ist die erste Bedingung erfüllt.
Untersuchen wir nun die zweite Bedingung:
\[{{a'}\over {a}}~=~{{b'}\over {b}}~=~{{c'}\over {c}}~=~{{d'}\over {d}}~=~k\]
Schon bei den Seitenpaaren a und a‘ sowie b und b‘ erkennen wir, dass die Seitenverhältnisse nicht gleich sind:
\begin{align} {{a'}\over {a}}~&=~{{2}\over {3,5}}~=~0,57\\ {{b'}\over {b}}~&=~{{4,5}\over {1,5}}~=~3\end{align}
Das bedeutet aber: die beiden Rechtecke sindnicht ähnlich.
Damit können wir mit recht einfachen Mitteln überprüfen, ob Figuren ähnlich sind. Das letzte Beispiel macht uns auch noch einmal deutlich, dass der erste Schein oft trügt. Wir müssen schon ins Detail gehen, bloßes Ansehen hilft leider nicht...
Nach meiner Erfahrung ist die Ähnlichkeit im Gegensatz zur Kongruenz in der Praxis die wichtigere Eigenschaft. Ich will hier auch keine großen Romane schreiben und nur ganz übergeordnet sagen, dass alle Handwerker, die etwas herstellen, die Technik der Ähnlichkeit beherrschen müssen. Dazu gehören z.B. Maler und Schreiner, die Muster entwerfen und vergrößert oder verkleinert und maßstabsgerecht umsetzen müssen. Das heißt, wir müssen schauen, wie wir ähnliche Figuren konstruieren können.
Zur Konstruktion ähnlicher Figuren bedient man sich eines Verfahrens, das der Mathematiker "zentrische Streckung" nennt. Sie gehört in der Mathematik zu den Abbildungsverfahren wie auch die Spiegelung oder Drehung. Aber keine Angst, im Grunde ist das nicht schwer. Arbeiten wir uns jetzt Schritt für Schritt durch.
Was brauchen wir?
Die Konstruktion verläuft dann über die Eckpunkte der vorliegenden Originalfigur.
Aufgabe: Strecke die vorgegebene Figur mit dem Faktork = 2.
Nach dem zeichnen der Originalfigur tragen wir den (vorgegebenen) PunktZ ein und starten mit PunktA.
Wir zeichnen die StreckeZA und messen die Länge der Strecke (grüne Linie).
Da der Streckfaktork hier 2 beträgt, zeichnen wir eine neue Linie (rote Linie) vonZ nachA, aber überA hinaus mit der Längek ∙ 3 = 6 und erhalten den neuen BildpunktA‘.
Beachte:
Original- und Bildpunkt liegenimmer auf einer Geraden.
War doch gar nicht so schwer - oder? Das Gleiche machen wir bei allen anderen Eckpunkten der Originalfigur. Zum Schluss verbinden wir noch alle gefundenen Bildpunkte in der richtigen Reihenfolge und erhalten die in der Größe veränderte Bildfigur.
Das war schon alles, was zu einer zentrischen Streckung gehört. Auch bei Verkleinerungen (Streckfaktor zwischen 0 und 1) ist da kein Unterschied. Das Bild entsteht dann zwischenZ undA. Eine kleine Besonderheit gibt es noch bei:
Die Grundvoraussetzungen bleiben alle erhalten. Nehmen wir uns das gleiche Dreieck wie eben vor. Auch hier beginnen wir mitZ undA.
Da der Streckfaktork hier – 2 beträgt, zeichnen wir eine neue Linie (rote Linie) vonZ nachA‘, aber in entgegengesetzter Richtung (also nicht RichtungA sondern die entgegengesetzte!) mit der Längek ∙ 3 = 6 und erhalten den neuen BildpunktA‘.
Der negative Streckfaktor sagt uns also nur, das wir die Richtung beim Ermitteln des Bildüpunkts ändern müssen. Mehr nicht... Ist doch gar nicht so schwer - oder? Das Gleiche machen wir bei allen anderen Eckpunkten der Originalfigur. Zum Schluss verbinden wir noch alle gefundenen Bildpunkte in der richtigen Reihenfolge und erhalten die in der Größe veränderte Bildfigur.
So, damit wären wir durch. Mit diesen wenigen, aber wichtigen Handgriffen solltet ihr gut durch das Kapitel Ähnlichkeit kommen. Viel Erfolg dabei!