Eine mathematische Gleichung zeichnet sich dadurch aus, dass in den einzelnen Termen Platzhalter (Variablen) stehen, deren Wert bestimmt werden muss. Dabei muss der Wert der Variablen genau so groß sein, dass eine wahre Aussage gebildet wird.
Dabei stellt man sich eine Gleichung am besten wie eine Balkenwaage vor. Diese kann nur im Gleichgewicht sein, wenn auf beiden Seiten gleich schwere Gewichte liegen. Wenn man von der einen Seite der Waage ein Gewicht entfernt, kann die Waage nur wieder ins Gleichgewicht kommen, wenn auf der anderen Seite ein gleich schweres Gewicht entfernt wird. Das kann man sich folgendermaßen verdeutlichen:

Das unbekannte Gewicht und 6 gleiche Gewichte auf der linken Seite wiegen also genauso viel wie 10 Gewichte auf der rechten Seite. Wenn ich nun wissen möchte, wie viel Gewichten mein unbekanntes Gewicht entspricht, muss ich aufbeiden Seiten der Waagegenauso viel Gewichte wegnehmen, bis auf der linken Seite nur noch das unbekannte Gewicht übrig bleibt. In unserem Beispiel sind das 6 Gewichte:

Das bedeutet: Das unbekannte Gewicht wiegt genauso viel wie 4 einfache Gewichtsstücke. Diesen einfachen Vorgang kann man mit einer mathematischen Gleichung beschreiben. Das unbekannte Gewicht bekommt einen Buchstaben zugeordnet (meistens x, kann aber auch y, z, a, b... sein).
Das Gleichheitszeichen entspricht dabei immer dem Drehpunkt der Waage. Deshalb ist beim Schreiben darauf zu achten, dass immer Gleichheitszeichen unter Gleichheitszeichen steht.

Um zu wissen, wie groß x ist, muss ich nun auf beiden Seiten 6 Stücke entfernen:

Wir erhalten die Lösung: x = 4. Wenn wir diese Lösung in das Ausgangsproblem (x + 6 = 10) einsetzen, sehen wir, dass eine richtige Ausssage (10 = 10) herauskommt. Dieses Rechenprinzip können wir für alle Gleichungen anwenden. Ziel ist immer, die Unbekannte auf einer Seite zu isolieren. Dann erhalten wir automatisch die Lösung. Daher muss ich meine Aufmerksamkeit immer auf die Seite richten, auf der die Unbekannte steht. Das ist immer der Ausgangspunkt meiner Überlegungen. Als Hilfe für die eigenen Überlegungen schreiben wir immer auf, was wir machen wollen.

1.2 Beispiel 1

Überlegung:

Ich muss auf der linken Seite 5 subtrahieren, damit x alleine steht. Das muss ich dann auch auf der rechten Seite machen.

Schreibweise:

Rechnung:

\begin{align} x + 5~ \color{red} {– 5}&= 9 ~\color{red} {– 5}\\ \\ x &= 4\end{align}

1.3 Beispiel 2

Überlegung:

Ich muss auf der linken Seite 4 addieren, damit x alleine steht. Das muss ich dann auch auf der rechten Seite machen.

Schreibweise:

\begin{align} x - 4 &= - 7~~|~~\color{red} {+ 4}\\ \\ x - 4 ~\color{red} {+ 4} &= - 7 ~\color{red} {+ 4}\\ \\ \\ x &= - 3 \end{align}

in unserem letzten Beispiel können wir auch so überlegen: auf der linken Seite fehlen 4. Also muss ich noch 4 dazu packen. Das muss ich aber, damit meine Waage nicht aus dem Gleichgewicht kommt, auch rechts machen.

\begin{align} x - 4 &= - 7~~|~~\color{red} {+ 4}\\ \\ x - 4 ~\color{red} {+ 4} &= - 7 ~\color{red} {+ 4}\\ \\ \\ x &= - 3 \end{align}

Wir sehen, die Rechnung ändert sich nicht und natürlich auch nicht das Ergebnis. Und das ist das Tolle in der Mathematik. Manchmal kann man ganz viele verschiedene Wege gehen – und alle führen zum Ziel!

1.4 Vielfache von x

Überlegung:

Auf der linken Seite sind 3x. Ich muss aber wissen, wie groß 1x ist. Also muss ich auf beiden Seiten durch 3 dividieren.

Schreibweise:

\begin{align} 3 x &= 6~~|~~\color{red} {: 3}\\ \\ \small {\color{red} {{{3 x} \over {3}}}} &= \small {\color{red} {{6 \over 3}}}\\ \end{align}

Rechnung:

1.5 x mit einem Bruch

Keine Angst vor Brüchen! Es ändert sich im Grunde genommen nichts gegenüber unserem letzten Beispiel.

Überlegung:

Auf der linken Seite sind \(\small {{{1} \over {3}}}x\). Ich muss aber wissen, wie groß 1x ist. Was haben wir im letzten Beispiel gelernt, was zu tun ist, wenn wir einen Faktor vor dem x haben? Genau! Wir teilen durch den Faktor. Das machen wir einfach auch hier. Klar musst du wissen, wie man durch Brüche teilt – aber das kannst du bestimmt! Also ran!

\begin{align} \small {{{1} \over {3}}} \normalsize x &= 6 ~~|~~ : \color{red} {\small {{{1} \over {3}}}}\\ \\ \small {{{1} \over {3}}} \normalsize x : \color{red} {\small {{{1} \over {3}}}} \normalsize &= 6 : \color{red} {\small {{{1} \over {3}}}}\\ \\ \small {{{1} \over {3}}} \cdot {{3} \over {1}} \normalsize &= 6 \cdot \small {{{1} \over {3}}}\\ \\ \\ \\ x &= 18\\ \end{align}

Gerade haben wir gesehen, wir können auch anders überlegen, also machen wir das auch hier:

Überlegung:

Auf der linken Seite sind \(\small {{{1} \over {3}}}x\). Ich muss aber wissen, wie groß 1x ist. Ich brauche also dreimal so viel. Daher muss ich mit 3 multiplizieren.

Schreibweise:

\begin{align} \small {{{1} \over {3}}} \normalsize x &= 6 ~~|~~ \cdot \color{red} {3}\\ \small {{{1} \over {3}}} \normalsize x \cdot \color{red} 3 &= 6 \cdot \color{red} 3\\ \\ x &= 18\\ \end{align}

Fassen wir zusammen:

Wenn auf der Seite mit der Unbekannten

etwas zu x addiert wird, muss ich es subtrahieren.

etwas von x subtrahiert wird, muss ich es addieren.

x mit etwas multipliziert wird, muss ich dadurch dividieren.

x durch etwas dividiert wird, muss ich damit multiplizieren.

1.6 Überall nur Brüche

Das gelernte Prinzip können wir für alle diese Rechnungn anwenden. Auch Brüche bei der Unbekannten sind dann kein Problem:

Überlegung:

Auf der linken Seite wird x mit \(\small {{{2} \over {3}}}\) multipliziert, also muss ich durch \(\small {{{2} \over {3}}}\) dividieren.

Schreibweise:

\begin{align} \small {{{2} \over {3}}} \normalsize x &= \small {{{1} \over {2}}} \normalsize~~|~~: \small {{{2} \over {3}}}\\ \\ \small {{{2} \over {3}}} \normalsize x : \small {{{2} \over {3}}} &= \small {{{1} \over {2}}} : \small {{{2} \over {3}}}\\ \end{align}

Rechnung:

Es wird durch einen Bruch dividiert, indem man mit dem Kehrwert des Bruches multipliziert.

Zwei Brüche werden multipliziert, indem man die Zähler multipliziert und die Nenner multipliziert.

\[\small {{{2 \cdot x \cdot 3} \over {3 \cdot 2}}} \normalsize = \small {{{1 \cdot 3} \over {2 \cdot 2}}}\]

1.7 Gemischte Gleichungen

Auch Mischformen sind nun kein Problem mehr. Ziel ist es wieder, den Term mit x auf einer Seite zu isolieren:

Merke:

Einen solchen Ausdruck haben wir bereits in Beispiel 3 gerechnet. Wir müssen nun noch durch 2 dividieren (Punktrechnung!), um herauszufinden, welchen Wert 1 x annimmt:

\begin{align} 2x &= 6~~|~~ : 2\\ \\ \small {{{2 \cdot x} \over {2}}} \normalsize &= \small {{{6} \over {2}}}\\ \end{align}

1.8 Umfangreichere Gleichungen

Bislang waren die Variablen in den Beispielen schon sehr isoliert. In der Regel ist das aber nicht der Fall. Du ahnst sicher schon: das wird nicht immer so bleiben. Doch keine Angst auch hier. Ich gebe ein paar Tipps, wie wir auch das knacken können.

Beispiel:

\begin{align} 4x &= 44~~|~~: 4 \\ \\ \small {{4x} \over {4}} &= \small {{44} \over {4}} \end{align}

Wichtiger Hinweis:

Ergibt sich nach dem Zusammenfassen für den Term mit der Variablen ein negatives Vorzeichen, wird die gesamte Gleichung mit – 1 multipliziert! Dadurch kehren sich auf beiden Seiten der Gleichung sämtliche Vorzeichen um! Erst dann weiter ausrechnen. Zum Beispiel:

\begin{align} - 4x &= 44~~|~~ \cdot (- 1)\\ \\ 4x &= - 44~~|~~:4 \\ \\ \small {{4x} \over {4}} &= \small {{44}\over {4}}\\ \\ \\ \\ x &= - 11 \end{align}

1.9 Terme mit höheren Potenzen von x

Sollten in Klasse 8 Ausdrücke mit x², x³... vorkommen, so sind mit Sicherheit auf beiden Seiten der Gleichung gleich viel davon vorhanden. Durch einfache Subtraktion werden diese Terme dann eliminiert da z.B. 2x² – 2x² = 0 ist. machen wir uns das gleich an einem Beispiel deutlich:

\begin{align} x(x+4) &= (3 + x)x + 9 \\ \\ x^2 + 4x &= 3x + x^2 + 9~~|~~ - x^2 \\ \\ 4x &= 3x + 9 \\ \end{align}

So, jetzt sieht das Ganze deutlich freundlicher aus und wir können weiterrechnen:

1.10 Äquivalenzumformungen

Ooops… Was ist das denn??? Ganz einfach: nichts anderes als das, was wir die ganze Zeit gemacht haben. Beim Lösen von Gleichungen führt man also Äquivalenzumformungen durch. Das bedeutet, die Umformung muss so erfolgen, dass sich der Wert der Gleichung nicht verändert. Das haben wir oben so gemacht und so muss es sein. Manchmal braucht man halt Fachbegriffe, um etwas eindeutig zu beschreiben. Ich wollte den Begriff der Ordnung halber hier noch aufführen und nicht unter den Tisch fallen lassen. Manche Mathelehrer lieben ihn… 😉

1.11 Probe

Zum Schluss noch ein paar Worte zur Probe. Sie wird eigentlich nie gemocht (warum eigentlich?), ist aber dennoch wichtig. Wir können schließlich mit Hilfe der Probe überprüfen, ob wir richtig gerechnet haben. Ist doch eigentlich super!
Was wird bei einer Probe gemacht? Bei einer Probe, wird lediglich der ausgerechnete Wert für x eingesetzt und dann ausgerechnet. Sind beide Seiten der Gleichung identisch, ist der eingesetzte Wert eine Lösung der Gleichung. Sind die beiden Seiten unterschiedlich, ist die Lösung falsch. Es finden bei der Probe keine Umformungsschritte statt!!!! Nur reines Einsetzen!!!! (Vielleicht macht das die Probe ein bisschen sympatischer… 😉)

Beim ersten Mal bekommen wir x = 4 als Lösung. Wir setzen die angegebene Lösung in die Gleichung ein (das heißt, wir ersetzen x durch 4) und rechnen aus.

\begin{align} 3x + 2 &= 8\\ \\ 3 \cdot 4 + 2 &= 8 \\ \\ 12 + 2 &= 8\\ \\ 14 &= 8 \end{align}

Das Ergebnis auf beiden Seiten der Gleichung ist unterschiedlich, also ist x = 4 keine Lösung! Mist, also müssen wir noch mal rechnen…

\begin{align} 3x + 2 &= 8\\ \\ 3 \cdot 2 + 2 &= 8 \\ \\ 6 + 2 &= 8\\ \\ 8 &= 8 \end{align}

Beide Seiten der Gleichung sind identisch, also ist x = 2 eine Lösung! Und dieses Mal haben wir uns nicht verrechnet 😊

1.12 Schlusswort zu den Gleichungen

Ich weiß. Das sieht jetzt auf den ersten Blick recht viel aus, ist es aber im Grunde genommen nicht. Wie bei vielen anderen Dingen gilt auch hier: Übung macht den Meister!!! Und dieses Üben lohnt sich! Die Gleichungen sindder zentrale Punkt, der einen fortan immer wieder begleitet, bis in die Oberstufe, BBS und darüber hinaus. Nicht nur in der Mathematik wird das gebraucht – auch die Physiker, Chemiker… lieben den Umgang mit Gleichungen. Und wer noch im Kopf hat, was ich am Anfang auf meiner HP stehen habe: Wenn ich die Techniken des Gleichung-Lösens wirklich kann, habe ich den Kopf frei für die neuen Dinge die da kommen. Und dann komme ich auch viel besser damit klar. Und was hilft da nur? Klar! Üben, üben, üben…

Gleichungen

Inhaltsverzeichnis

1.1 Was sind Gleichungen?

1.2 Beispiel 1

Überlegung:

Schreibweise:

Rechnung:

1.3 Beispiel 2

Überlegung:

Schreibweise:

1.4 Vielfache von x

Überlegung:

Schreibweise:

Rechnung:

1.5 x mit einem Bruch

Überlegung:

Überlegung:

Schreibweise:

1.6 Überall nur Brüche

Überlegung:

Schreibweise:

Rechnung:

1.7 Gemischte Gleichungen

Merke:

1.8 Umfangreichere Gleichungen

Beispiel:

Wichtiger Hinweis:

1.9 Terme mit höheren Potenzen von x

1.10 Äquivalenzumformungen

1.11 Probe

1.12 Schlusswort zu den Gleichungen